Родился в семье доктора медицины Адольфа Бернардовича Абрагамсона (сын надворного советника Бернарда Абрагамсона) и Беллы Осиповны Рабинович (дочь писателя Осипа Рабиновича).

Начальное образование получил во Второй одесской гимназии. Поступил на физико-математический факультет Новороссийского университета. С 1872 по 1876 обучался на инженерном отделении Цюрихского политехникума, по окончании которого защитил диплом инженера. Возвратившись в Россию, продолжил учебу в Санкт-Петербургском институте инженеров путей сообщения.

Инженер путей сообщения. Начальник служб пути Юго-Западной железной дороги (1904), Северной железной дороги (1910), директор Правления Московско-Казанской железной дороги (1911). Редактор журнала «Инженер» (1898-1917). В 1900 году, представляя русский железнодорожный отдел на Всемирной выставке в Париже, стал кавалером ордена Почетного легиона.

Вот уже без малого сто лет киевляне пользуются оригинальным видом транспорта - фуникулером. В мае 1905 года подвесные вагончики приняли первых пассажиров, намного упростив подъем с Подола на Верхний город по крутому склону.Но идея подобного транспортного средства для Киева впервые была высказана значительно раньше. В 1882 году в Киеве поселился инженер путей сообщения Артур Абрагамсон. Пригласивший его сюда шеф Юго-Западных железных дорог Сергей Витте (будущий премьер-министр Российской империи) называл Абрагамсона "инженером в квадрате", поскольку тот получил сразу два инженерных диплома - сначала в Цюрихе (Швейцария), потом в Петербурге. Обучаясь в Цюрихском политехникуме, студент Абрагамсон увидел в альпийской республике канатные подъемники. Идея эта показалась ему как нельзя более подходящей для киевского рельефа. И уже с 1883 года в Киеве обсуждались реальные проекты фуникулера. Абрагамсон выдвигал различные предложения: трасса в районе нынешней Европейской площади или близ Андреевской церкви; паровой двигатель либо гидромотор. С появлением в Киеве электрического трамвая идея обрела новое звучание. Решено было связать фуникулером трамвайные пути в районе Михайловской и Почтовой площадей. Руководителем и идеологом окончательного проекта стал Артур Абрагамсон, путевые конструкции разработал Николай Пятницкий, станционные павильоны спроектировал Александр Барышников. При оснащении было использовано оборудование из Швейцарии. Работы велись в 1904-1905 гг. и завершились полным успехом. С тех пор, претерпев несколько реконструкций, киевский фуникулер по-прежнему популярен среди жителей и гостей города.

Стоял у истоков организации Киевского яхт-клуба (1887) и «медицинской спасательной станции» (1902).